배움은 누구도 챙겨주지 않고, 내가 훔쳐 먹는 것이다

다음은 Boscarino, Pareschi, Russo(2012)의 논문「Implicit-Explicit Runge-Kutta Schemes for Hyperbolic Systems and Kinetic Equations in the Diffusion Limit」의 내용을 이해하기 쉽게 정리한 것입니다.연구 주제와 동기이 논문은 다음과 같은 형태의 hyperbolic relaxation system을 다룹니다:$$\begin{aligned}u_t + v_x &= 0, \\v_t + \frac{1}{\varepsilon^2} p(u)_x &= -\frac{1}{\varepsilon^2}(v - q(u)),\end{aligned}$$여기서 $\varepsilon$는 매우 작은 양의 상수(평균 자유 경로; m..

풀이(1) 먼저 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서 접선의 방정식은$$y = f(t) + f'(t)(x - t)$$로 주어진다. 따라서 접선, 곡선 $y=f(x)$, 그리고 $y$-축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $g(t)$는 다음과 같이 표현된다.$$g(t)=\int_{0}^{t}[f(t)+f'(t)(x-t)-f(x)],dx.$$(2) 위의 식을 간단히 정리하면,$$g(t)=\int_{0}^{t} x f'(x),dx -\frac{t^{2}}{2}f'(t)$$를 얻는다.(3) 미분하여 $g'(t)$를 계산하면, Leibniz 적분공식에 의해$$g'(t)=t f'(t)-t f'(t)-\frac{t^{2}}{2}f''(t)=-\frac{t^{2}}{2}f''(t)$$가 된다.(4) 이제 문제..

수치적분(Numerical Integration)은 대부분의 함수가 초등함수로 적분되지 않거나 정확한 적분값을 구하기 어려울 때 매우 유용한 도구이다. 특히 적은 수의 계산으로도 높은 정확도를 얻고 싶을 때 가장 효과적인 방법 중 하나가 Gauss–Legendre Quadrature(가우스-르장드르 구적법)이다.이 글에서는 Gauss–Legendre 방법이 무엇인지, 어떻게 노드(적분점)와 가중치가 결정되는지, 그리고 실제 계산에 어떻게 활용할 수 있는지 명료하게 설명한다.1. Gauss–Legendre Quadrature의 핵심 아이디어Gauss–Legendre Quadrature는 적분의 계산점(노드)과 이 노드들에 대응하는 가중치를 최적으로 선택하여, 가능한 한 높은 정확도로 적분을 수행하는 방법이..

편미분방정식(partial differential equations, PDEs)은 자연과학 및 공학 분야의 다양한 현상을 수학적으로 묘사할 때 자주 등장한다. 그중에서도 쌍곡 보존법칙(hyperbolic conservation laws)은 파동 전파, 충격파(shock wave), 교통 흐름, 유체 흐름과 같이 시간과 공간에 따라 물리량이 이동하고 보존되는 현상을 표현하는 대표적인 PDE다. 일반적으로 다음과 같은 형태를 가진다:$$u_t + f(u)_x = 0.$$이러한 방정식은 비선형성과 불연속성(충격파 등)으로 인해 대부분 해석적인 해(정확한 해)를 구하기 어렵거나 불가능하다. 따라서 이를 해결하기 위한 다양한 수치적(numerical) 방법들이 개발되고 있다.본 글에서는 쌍곡 보존법칙의 가장 기본..

Introduction쌍곡 보존 법칙(hyperbolic conservation laws)은 압축성 유체의 운동이나 파동 전파와 같은 다양한 물리 현상을 기술하는 중요한 수학적 모형입니다. 그러나 이런 방정식들은 흔히 불연속적인 해(충격파 등)를 발생시키기 때문에 정확한 해를 찾기 어렵고, 수치적 방법을 통해 근사적으로 해결해야 합니다.수치적 방법에서는 유한체적법(Finite volume methods)이 주로 쓰이며, 이때 사용되는 numerical flux(수치적 유속)의 선택은 수치해의 정확성과 안정성에 큰 영향을 줍니다. 이 글에서는 대표적인 numerical flux 방식인 Upwind 방법, Lax–Wendroff 방법, Beam–Warming 방법의 원리와 특징을 전문적이면서도 이해하기 쉽게..

Godunov 방법과 파 전파(Wave propagation) 관점의 이해편미분방정식(PDE)을 수치적으로 풀기 위해 자주 사용되는 대표적 방법 중 하나가 유한 체적법(Finite Volume Method)이다. 특히 유한 체적법 중에서도 Godunov 방법은 매우 직관적이며 물리적 현상을 잘 표현하는 특징을 가지고 있어 다양한 분야에서 활용되고 있다. 이 글에서는 Godunov 방법의 기본 원리를 살펴보고, 이를 파 전파(Wave propagation)라는 관점에서 바라보았을 때 나타나는 새로운 해석의 의미를 소개하고자 한다.1. Godunov 방법의 기본 아이디어일차원 선형 쌍곡 방정식을 예로 들어보자.$$q_t + A,q_x = 0$$여기서 $q$는 보존량을 나타내는 벡터이고, $A$는 계수 행렬이..

IntroductionJulia의 circshift 함수는 배열의 요소들을 원형(순환) 이동시킬 때 유용하게 쓰이는 내장 함수다. 배열을 한 방향으로 밀어낼 때, 배열의 끝을 넘어간 요소들은 다시 배열의 반대쪽 끝으로 돌아와 나타난다. 이러한 특징은 데이터 전처리나 신호처리에서 주기적 경계 조건을 다룰 때 특히 자주 사용된다.1. circshift 개념circshift는 배열을 특정 방향으로 지정된 만큼 원형 이동시키는 함수다. 예를 들어 배열$$[1,,2,,3,,4,,5]$$을 오른쪽으로 두 칸 이동하면 결과는$$[4,,5,,1,,2,,3]$$이 된다.2. circshift 사용법Julia에서의 기본 문법은 다음과 같다.circshift(A, shifts)A: 이동할 배열shifts: 이동할 칸 수 (..

풀이주어진 등비수열의 무한급수 조건에서 다음 두 식이 성립한다.\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_n\right|+a_n\right)=\frac{40}{3}, \quad \sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_n\right|-a_n\right)=\frac{20}{3}\end{equation*}공비가 양수이면 모든 항의 부호가 일정해 두 식 중 하나가 0이어야 하는 모순이 발생한다. 따라서 공비는 음수이며, 공비를 \(-q(0\begin{equation*}\frac{A}{1-q^2}=\frac{20}{3}, \quad \frac{A q}{1-q^2}=\frac{10}{3}\end{equation*}두 식을 나누어 공비를 구하면\beg..

풀이(1) 조건 (가)로부터,$$f(0)=\sin b=0 \;\Longrightarrow\; b=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}$$또한\[f(2\pi)=\sin(2\pi a+b)=2\pi a+b\]인데, \(\sin\) 함수의 범위를 고려하면 좌변은 \(-1\le \sin(2\pi a+b)\le 1\)이다.따라서 등식이 성립하려면\[2\pi a+b=0\]이어야 한다. 즉 \(b=-2\pi a\). 앞서 얻은 \(b=k\pi\)와 비교하면\[-2\pi a = k\pi \;\Longrightarrow\; -2a=k,\quad k\in\mathbb{Z}\]조건 \(1\le a\le 2\)에서 가능한 정수는 \(k=-2,-3,-4\)뿐이므로\[a=1,\;\frac{3}{2},\;2\]로 제한된다...

Nodal Discontinuous Galerkin MethodsThe text offers an introduction to the key ideas, basic analysis, and efficient implementation of discontinuous Galerkin finite element methods (DG-FEM) for the solution of partial differential equations. All key theoretical results are either derived저자Hesthaven Jan S/ Warburton Tim출판Springer출판일2007.10.01  이 책은 nodal discontinuous Galerkin (DG) 방법을 중심으로, 부분 미분..