Fourier 급수의 이해: 기본 개념부터 복소수 표현과 수렴 조건까지

Fourier 급수는 주기 함수 $f(x)$를 기본 삼각함수인 사인(sine)과 코사인(cosine)의 무한 급수 합으로 표현하는 강력한 도구입니다. 이를 통해 복잡한 주기 함수를 여러 주파수 성분으로 분해하여 분석할 수 있으며, 신호 처리, 물리학 등 다양한 분야에서 폭넓게 활용됩니다. 본 글에서는 Fourier 급수의 기본 개념과 계수의 계산 방법, 복소수 표현으로의 전환 및 증명 과정을 살펴보고, 수렴 조건과 그 특징에 대해 설명하겠습니다.

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1. 기본 개념 및 계수의 계산

1.1 주기 함수의 분해

Fourier 급수는 임의의 주기 함수 $f(x)$를 기본 주파수와 그 정수배 주파수를 갖는 사인과 코사인 함수들의 합으로 나타냅니다. 일반적인 Fourier 급수의 표현은

$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right]
$$

와 같이 나타내며, 여기서 $a_0$, $a_n$ 및 $b_n$는 각각 함수의 직류 성분(평균값)과 주파수 성분의 기여도를 나타내는 계수입니다.

1.2 실수 표현에서의 계수 계산

Fourier 급수의 계수는 다음과 같이 계산됩니다.

• $a_n$ 계수 ($n \ge 0$): $$
  a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx
  $$
• $b_n$ 계수 ($n \ge 1$): $$
  b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx
  $$

특히, $a_0$는 함수의 평균값, 즉 직류 성분을 나타냅니다.

1.3 복소수 표현

Fourier 급수는 복소수 지수 함수 $e^{inx}$를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$
f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}
$$

여기서 계수 $c_n$는

$$
c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx
$$

로 정의되며, 이 표현은 복소수 평면에서의 해석이나 신호 처리 분야에서 특히 유용합니다.

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2. 복소수 표현 증명: 오일러 공식을 이용한 전환

Fourier 급수의 복소수 표현 증명은 실수 형태의 Fourier 급수를 오일러 공식(Euler's formula)을 활용하여 복소수 지수 함수의 급수로 재구성하는 과정을 통해 이루어집니다. 그 과정을 단계별로 살펴보면 다음과 같습니다.

2.1 실수 형태의 Fourier 급수

우선, $f(x)$가 $[-\pi,\pi]$ 구간에서 정의된 주기 함수일 때 Fourier 급수는

$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right]
$$

로 표현되며, 계수들은 앞서 제시한 식으로 계산됩니다.

2.2 오일러 공식을 이용한 삼각함수의 변환

오일러 공식에 따르면

$$
e^{inx} = \cos(nx) + i\sin(nx), \quad e^{-inx} = \cos(nx) - i\sin(nx)
$$

로 표현할 수 있습니다. 이로부터

$$
\cos(nx) = \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2}, \quad \sin(nx) = \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i}
$$

와 같이 나타낼 수 있습니다. 이를 실수 형태의 Fourier 급수에 대입하면

$$
\begin{aligned}
f(x) & \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ a_n \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2} + b_n \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i} \Biggr] \\
&= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \left(\frac{a_n}{2} + \frac{b_n}{2i}\right)e^{inx} + \left(\frac{a_n}{2} - \frac{b_n}{2i}\right)e^{-inx} \Biggr].
\end{aligned}
$$

2.3 복소수 계수의 정의 및 도출

위 식에서 $e^{inx}$ 항들을 하나의 합으로 묶기 위해, 음수와 양수 $n$에 대해 복소수 계수 $c_n$을 다음과 같이 정의합니다.

$$
c_n =
\begin{cases}
\frac{1}{2}(a_n - i,b_n), & n < 0, \\
\frac{a_0}{2}, & n = 0, \\
\frac{1}{2}(a_n + i,b_n), & n > 0.
\end{cases}
$$

이 정의에 따라 Fourier 급수는

$$
f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}
$$

로 단일 합의 형태로 표현됩니다.

복소수 표현의 타당성을 보이기 위해, 양변에 $e^{-imx}$ (여기서 $m$은 정수)를 곱한 후 $[-\pi,\pi]$ 구간에서 적분하면

$$
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-imx} dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(n-m)x} dx.
$$

여기서 복소수 지수 함수의 직교성에 의해

$$
\int_{-\pi}^{\pi} e^{i(n-m)x} dx =
\begin{cases}
2\pi, & n = m, \\
0, & n \neq m,
\end{cases}
$$

가 성립하므로

$$
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-imx} , dx = 2\pi, c_m,
$$

즉,

$$
c_m = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-imx} dx.
$$

급수와 적분의 순서를 교환할 수 있는 이유는 다음 두 가지 수렴 조건에 기인합니다.

1. 균등 수렴 (Uniform Convergence):
   전체 정의역에서 급수가 균등하게 수렴하면, 항별 적분 후 합산과 적분 후 합산의 결과가 동일합니다.
2. 지배 수렴 정리 (Dominated Convergence Theorem) 또는 절대 수렴:
   각 항이 적분 가능한 함수에 의해 지배되고 점wise 수렴할 경우, 지배 수렴 정리를 통해 적분과 급수의 순서를 교환할 수 있습니다.

Fourier 급수의 경우, 함수가 Dirichlet 조건 등 “좋은” 성질을 만족하면 이러한 조건들이 충족되어 위와 같은 변환이 엄밀하게 정당화됩니다.

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3. 수렴 조건과 특징

Fourier 급수가 함수 $f(x)$에 대해 점별로 수렴하기 위해서는 대표적으로 Dirichlet 조건이 요구됩니다.

3.1 Dirichlet 조건

Fourier 급수의 전통적인 점별 수렴을 보장하는 Dirichlet 조건은 다음과 같습니다.

• 불연속점의 유한성:
  주기 구간 내에 불연속점이 유한해야 합니다.
• 극대/극소의 유한성:
  함수가 유한 개의 극대점과 극소점만을 가져야 합니다.
• 절대적분 가능성:
  함수가 주어진 구간 내에서 절대적분 가능한 형태여야 합니다.

이 조건들이 만족될 경우, Fourier 급수는 연속인 점에서는 $f(x)$ 자체로, 불연속점에서는 좌우 극한의 평균값으로 수렴합니다.

3.2 조건 미충족 사례

Dirichlet 조건을 위반하는 경우에는 Fourier 급수의 점별 수렴 결과가 일반적으로 보장되지 않습니다. 대표적인 예는 다음과 같습니다.

1. 예제 1:이 함수는 $x=0$ 근방에서 무한히 많은 진동을 하여, 작은 구간 내에서도 극대와 극소가 무한히 나타납니다. 따라서 극값의 개수가 유한하다는 조건을 위반하며, 전통적인 Fourier 급수의 점별 수렴 증명이 적용되기 어렵습니다.
2. $$
   f(x) = \begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}
   $$
3. 예제 2: 디리클레 함수 (Dirichlet 함수)이 함수는 모든 점에서 불연속이며, 주기 구간 내 불연속점의 수가 무한하기 때문에 Dirichlet 조건 중 불연속점의 유한성이 명백히 위배됩니다. 결과적으로 Riemann 적분을 통한 Fourier 급수 정의가 어려워지고, 단지 $L^2$ 공간에서의 수렴이나 Cesàro 평균(Fejér 합)을 통해서만 해석이 가능합니다.
4. $$
   D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}
   $$

이와 같이, Dirichlet 조건을 만족하지 않는 함수의 경우에는 Fourier 급수의 전통적인 점별 수렴 결과를 기대하기 어렵고, 보다 세밀한 해석학적 기법이나 다른 수렴 개념(예: 평균 제곱 수렴)을 도입해야 합니다.

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결론

Fourier 급수는 주기 함수를 사인과 코사인의 무한 급수 합 또는 복소수 지수 함수의 합으로 표현함으로써, 함수의 주파수 성분을 효과적으로 분석할 수 있는 도구입니다. 오일러 공식을 활용한 복소수 표현 증명은 실수 표현과 동등한 결과를 산출하며, 복소수 계수 $c_n$은

$$
c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}  dx
$$

로 명확히 도출됩니다. 또한, Fourier 급수의 수렴 성질은 함수가 Dirichlet 조건과 같은 적절한 조건을 만족할 때 보장되며, 조건 미충족 시에는 보다 정교한 해석 방법이 필요함을 알 수 있습니다.

이와 같이 Fourier 급수는 수학적 이론뿐 아니라 다양한 응용 분야에서 중요한 역할을 수행하는 강력한 도구입니다.