IntroductionDirichlet kernel는 푸리에 급수 이론에서 기본적인 역할을 수행하는 도구로, 두 가지 상이한 표현 방식이 존재합니다. 첫 번째 표현은 정의에 따른 합의 형태로$$D_N(x)=\sum_{n=-N}^{N}e^{inx}$$로 나타내며, 두 번째 표현은 닫힌 형태로$$D_N(x)=\frac{\sin\Bigl((N+\tfrac{1}{2})x\Bigr)}{\sin(x/2)}$$로 표현됩니다. 본 글의 목적은 이 두 가지 표현이 수학적으로 동치임을 명확히 보이는 데 있습니다. 증명은 인덱스 치환, 기하급수 합 공식, 그리고 삼각함수 항등식을 이용하여 진행됩니다.1. 정의$N$차 Dirichlet kernel은 다음과 같이 정의됩니다.$$D_N(x)=\sum_{n=-N}^{N}e^{in..